B Ö L Ü M  V

 

K Ü Ç Ü K     P O P U L A S Y O N L A R

 

 

  V.1- Giriş

 

            Gen frekansını değiştiren evolusyoner amillerden üçü, yani göç, mutasyon ve seleksiyon, sistematik etkili, yani etkisinin miktarı ve istikameti belli, amiller olarak bilinir. Dördüncü amil, şans, dispresif etkili olarak tanımlanır. Yani şansın gen frekansını değiştirici etkisi, öncekilerin aksine, istikamet bakımından tesadüfidir, bazen artırıcı, bazen azaltıcı yöndedir. Dolayısı ile sadece değişme miktarındaki etkisi tahmin edilebilir.

 

            Şansın etkisini yok saymak için önceki bölümlerde hep geniş bir populasyon varsayıldı. Sistematik etkili amiller çalışmadığı sürece, böyle sonsuz genişlikteki populasyonların Hardy-Weinberg dengesinde olduğu görüldü. Sistematik amillerin etkisi de yine böyle sonsuz populasyonlarda çalışılır, sonra şansla birlikte ele alınır. Şansın etkisini dikkate almadan geliştirilen böyle modeller, deterministik model olarak bilinir.

 

            Deterministik modele göre, seleksiyon, göç ve mutasyon olmadığı zaman, gen ve genotip frekansları, büyük populasyonlarda generasyonlar boyunca durağandır. Ancak küçük populasyonlarda bu durağanlık söz konusu değildir. Gen frekansı, küçük populasyonlarda, ertesi generasyonu verecek gametlerin örneklemesinden ileri gelen bir şans etkisi yüzünden, generasyonlar boyunca tesadüfi değişmeler gösterir. Gen frekansındaki bu tesadüfi değişmelere randomdrift (rastgele oynama veya tesadüfi oynama)  denilmektedir. Küçük bir populasyonda gen frekansı takip edilirse görülür ki, gen frekansında generasyondan generasyona her hangi bir kurala uymayan değişmeler vardır. Bu tesadüfi oynamalar sadece şans yüzünden değil, sistematik etkili amillerin etkilerinin sabit olmamasından, her generasyon tesadüfi değişmeler göstermesinden kaynaklanıyor da olabilir ki, bunlar arasında seleksiyon intensitesindeki tesadüfi dalgalanma özellikle önemlidir (Crow ve Kimura, 1970). Şansın etkisini dikkate alan modeller, stokastik model olarak isimlendirilir.

 

            Misal: V.1-p=0.5 olan bir populasyon olsun. Bu populasyonda ertesi generasyonu oluşturacak gametler, eğer sonsuz sayıda değilse, o zaman sonsuz sayıda gametten alınan bir tesadüf örneğidirler. Meselâ 100 gametten 50 tanesi A genini taşısın beklenir ama böyle bir örnekte A genini taşıyan gametlerin  sayısı belirli ihtimallerle 0,1,..,100 olabilir.  Bu ihtimaller, binomiyal bir dağılım gösterir:

A geninin ertesi generasyon tamamen yok olma ihtimali, yani populasyonun tamamen a geninden ibaret olma ihtimali, (0.5)¹⁰⁰, hiç olmazsa bir gamette A geni olma ihtimali ise, . Bu gen frekansı 0.5 değil de daha küçük,  meselâ 0.1 olsaydı, 100 gamette hiç A geni olmama ihtimali,  olacak, buna karşılık hiç olmazsa bir gamette A geni olma ihtimali,  olacaktı. Populasyon daha küçük olsaydı, meselâ 10 gamette hiç A geni olmama ihtimali, (0.9)¹⁰ olacak, hiç olmazsa bir gamette A geni olma ihtimali de 1-(0.9)¹⁰ olacaktı. Yani küçük frekanslı bir genin populasyondan kaybolma ihtimali, populasyon küçüldükçe artmaktadır.

 

            Random drift’in küçük populasyonlarda homozigotluğu artırıcı etkisi önemlidir. Bu etki, bir alt populasyonda bir allel lehine işlerken, diğer bir alt populasyonda ise başka bir allel lehine işler. Böylece alt populasyonlar arasında bir farklılaşma meydana gelir. Random drift’ in bu etkisi, evrim bakımından önemli olduğu gibi, ıslah bakımından da önemlidir.

 

            Şansın homozigotlaşmayı artırıcı etkisi, işte bu yüzden, bir taraftan, gen frekansındaki varyans cinsinden ifade edilir. Şansın etkisinin başka bir ifadesi de, akrabalı yetişmedir. Küçük populasyonlarda homozigotlaşmadaki artış, müşterek atadan gelen genlerin artışıdır. Bu genlere “müşterek cetten dolayı özdeş (Identical by descent)” genler denir. Müşterek cetten dolayı özdeş olan genlerin artmasından ileri gelen homozigotlaşmaya akrabalı yetişme (inbreeding) denir, ölçüsü de akrabalı yetişme katsayısıdır (coefficient of inbreeding).

 

            Şansın etkisi, burada, yine basit bir modele indirgenerek ele alınmaya çalışılacaktır. Bu basit modelde, ideal bir başlangıç populasyonu düşünülür. Bu populasyon, rastgele çiftleşen sonsuz büyüklükte bir populasyon olup, coğrafi ve ekolojik adaptasyon yüzünden veya kültüre alınmış populasyonlarda kontrollü olarak alt gruplara ayrılmıştır. Bu alt gruplara hatlar, bunların ayrıldığı ana populasyona da başlangıç populasyonu veya kaynak populasyon (base, referencepopulation) denilecektir. Herhangi bir generasyonda hatların tamamı beraberce bütün bir populasyonu, her bir hat da, gen frekansının tesadüfi oynamalara maruz kaldığı küçük bir populasyonu ifade edecektir. Hatlar, çiftleşme bakımından birbirinden izole olmuş kabul edilecektir, yani hatlar arasında göç olmadığı varsayılacaktır. Aynı şekilde mutasyon ve seleksiyonun etkisi de daha sonraya bırakılacaktır. Her hattın genişliği de başlangıçta hattan hatta ve generasyondan generasyona değişmiyor kabul edilecektir. Populasyon genişliğinin sabit olmadığı durumlar daha sonra ele alınacaktır. Her hat içinde rastgele çiftleşme söz konusudur, öyle ki rastgele olarak kendine döllenme de mümkündür. Kendine döllenmenin imkânsız olduğu durumlar için de bu model, küçük bir sapma ile geçerli sayılabilir.

 

            Buna göre her bir hat ve generasyonda çiftleşen bireylerin sayısı (populasyon genişliği) N olsun. Belirli bir hatta bir lokustaki belirli bir allelin frekansı p, diğer allellerin toplam frekansı q=1-p olsun. Bunların bütün hatlar üzerinden ortalamaları  ve  olsun. Başlangıç populasyonundaki gen frekansları da p₀ ve q₀ olsun. t. generasyonda bütün hatların ortalama gen frekansı, başlangıçtaki gen frekansına eşittir: .

 

 

            V.2- Örneklemenin (Şansın) Etkisi: Varyans Cinsinden

 

            Daha önce de ifade edildiği gibi, gen frekansına örneklemenin etkisi, istikameti belli olmayan bir etkidir. Ancak değişmenin miktarı, değişmenin varyansı cinsinden tahmin edilebilir.

 

            Başlangıç populasyonundan N bireylik hatların ayrılması, 2N genişliğinde gamet örneklerinin çekilmesi demektir, ki bu, binomiyal bir dağılımdan çekilmiş 2N genişliğinde basit tesadüf örnekleri demektir. 2N gametten r tanesinde A geni bulunma ihtimali, binomiyal ihtimal fonksiyonundan,  olacaktır. Buna göre, r’nin beklenen değeri,

                        

ve varyansı,

                        

olur. Herhangi bir hatta A geninin frekansı p=r/2N olduğundan, p’nin beklenen değeri ve varyansı, sıra ile

(V.1)               

(V.2)               

 

olarak bulunur. Yani başlangıç generasyonundan sonraki ilk generasyonda herhangi bir hatta A geninin frekansı p₁, beklenen değeri p₀ etrafında p₀q₀ /2N varyansı ile ifade edilen bir varyasyon gösterir. Yani hatlar arasında, gen frekansına ait varyans, (V.2) ile gösterilen kadardır. Bir generasyonda meydana gelen değişmenin varyansı da, p₁-p₀ ifadesindeki p₀ sabit olduğundan yine (V.2)’ye eşittir:

(V.2a)             

Gelecek generasyonda örnekleme işlemi aynı şekilde tekrarlanır, fakat bu defa her hat farklı bir p₁ frekansı ile başladığı için, ikinci generasyonda örnekleme, hatlar arasında daha ileri bir varyasyona yol açar. Bu şekilde sürekli devam eden örnekleme, generasyonlar ilerledikçe, her hattın gen frekansında kural dışı oynamalara ve hatların birbirlerinden tedrici olarak ve belirsiz istikametlerde farklılaşmasına sebep olur ( Falconer,1981).

 

             Modeli bir adım daha ileri götürüyoruz. t. generasyonda herhangi bir hattın gen frekansı p_t olsun. Ertesi generasyondaki N dölü verecek 2N gametten A genine sahip olanların sayısı r, binomiyal bir dağılım gösterir. t+1. generasyonda gen frekansı p_t+1’in beklenen değeri, kolayca gösterilebilir ki,

(V.3)               

ve varyansı

(V.4)               

Bu varyansın ilk terimi ikinci moment olup,

            

şeklinde bulunur. Çeşitli dağılımların momentleri, moment çıkaran fonksiyon yardımı ile bulunur. İkinci moment, moment çıkaran fonksiyonun ikinci türevinin, moment değişkeninin sıfır için değerine eşittir. Buna göre, r’nin karesinin beklenen değeri,

            

olup buradan da

(V.5)   

olur. Binomiyal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu ek:V.1’de anlatılmıştır. Buradan beklenen değerler Ek: V.2’de gösterildiği şekilde aşağıdaki gibi bulunur:

(V.9a)             

(V.9b)           

Bunları eş.(V.4)’de yerine koyarak

(V.10)  

bulunur. Bu, t. generasyonda, hatlar arasında gen frekansı bakımından varyasyonu gösterir. Enteresan bir sonuç,  olduğunda  olmasıdır. Başlangıç populasyonundan tek gametlik örnekler çekilseydi bunların A geni bakımından frekansı, p₀q₀ olacaktı. Demek ki, sonsuz generasyon sonra her hat başlangıçtaki tek bir gametten meydana gelmiş olacak, her hat bir çeşit gamet verecektir. Yani her hat ya bütün lokuslarda A genine sahip, ya da hiçbir lokusta A genine sahip değildir ki bu hatlar içi varyasyon sıfır anlamına gelir.

 

            Sonuç olarak, diğer evolusyoner amillerin çalışmaması halinde şansın etkisinin, hatlar arası farklılaşmayı artırmak, hatlar içi varyasyonu ise azaltmak, yani hat içinde homozigotlaşmayı, ama bir istikamette artırmak olduğu ortaya çıkmaktadır. Sonsuz generasyon sonra, dikkat edilirse, A geni bakımından homozigotlaşan hatların oranı p₀’a, yani A geninin başlangıçtaki frekansına eşittir.

 

            Genotip frekanslarına bütün hatlar üzerinden bakıldığında, heterozigotlarda azalma eş.(V.4)’den çıkarılabilir. t. generasyonda A geninin frekansı p_t olan bir hatta AA genotipinin frekansı p_t² dir. O halde AA genotipinin bütün hatlar üzerinden beklenen frekansı E(p_t²) olup, eş.(V.4)den,

(V.11a)           

olarak bulunur. Öte yandan aa genotipli bireylerin beklenen frekansı da, A ve a geni bakımından gen frekansı varyansı eşit olduğundan kolayca,

(V.11b)           

yazılabilir. Bir hat içinde heterozigot genotipin beklenen frekansı, yani hatlar üzerinden ortalama heterozigot frekansı, eş.(V.11a) ve eş.(11b) yardımı ile, ve,

                        

olduğundan,

(V.11c)           

bulunur. Görülüyor ki, heterozigot genotipin beklenen frekansında başlangıç frekansına nazaran gen frekansındaki varyansın 2 katı kadar bir azalma vardır.

            Bu ortalama (beklenen) genotip frekansları artık Hardy-Weinberg dengesinde değildir. Öte yandan her hat içinde tesadüfü sapmalar dışında, H.W. dengesinden söz edilebilir. Ancak gen ve genotip frekansları bütün hatların ortalaması (beklenen değeri) olarak alındığında, artık bu gen ve genotip frekansları arasında H.W. dengesinden bahsedilemez.  ve  olduğundan veya  ve  olduğundan gen ve genotip frekansları arasında H.W. dengesinin tipik ifadesi olan eşitlikler artık yoktur:

 

      IV.3- Çalışma Problemleri

               1- Küçük populasyonlarda sadece örneklemenin etkisi ile populasyonunda genetik yapısında nasıl değişiklikler beklenir? Etraflıca açıklayınız.

               2- Başlangıçta A geninin frekansı 0.40'tır. Bu populasyonda 20 ve 50 genişlikteki küçük populasyonlarda A geninin frekansının varyansı, sonraki üç generasyonda kaç olsun beklenir? (Eşitlik  V.10 ile çözebilirsiniz)

               3- Bir önceki sorudaki küçük populasyonlarda üç generasyon boyunca AA, Aa ve aa genotiplerinin beklenen frekansı 50 ve 20 bireylik örneklerde kaç olur? (Eşitlik V.11a,b ve c ile çözünüz)

 

 

Ek: V.1- Binomiyal Dağılımın Beklenen Değer, Varyans ve Momentleri

            Bir Bernoulli tesadüf değişkeninin beklenen değeri, tanım gereği,

                      

Y gibi binomiyal bir tesadüf değişkeninin beklenen değeri ise, Y=X₁+X₂  +…+X_n şeklinde n tane bağımsız ve özdeş Bernoulli tesadüf değişkeninin toplamı olduğundan,

 (V.12)          

Bir X Bernoulli tesadüf değişkeninin varyansı, yine tanım gereği,

  .

Binomiyal bir tesadüf değişkeni, n tane bağımsız ve özdeş Bernoulli tesadüf değişkeninin toplamı olduğundan varyansı,

 

(V.13)             Var(Y)=Var(X₁)+Var(X₂)+…+Var(X_n)= n*Var(X)=n*p*(1-p)

           

            Binomiyal dağılımın daha yüksek dereceden momentleri için, moment çıkaran fonksiyondan yararlanılır:

(V.14)                        

 

Bu fonksiyonun türevi

 

Φ_y^’ (t) = n (pe^t+(1-p))^n-1pe^t

Birinci moment, tanım gereği bu türevin t=0 için alacağı değerdir:

 

E(Y) = Φ_y^’ (0)= np

 

İkinci dereceden türev

Φ_y^’’ (t)= n (n-1)(pe^t+(1-p))^n-2 (pe^t)²+n(pe^t+1-p)^n-1pe^t

 

İkinci moment bu durumda t=0 için

E[Y²] = Φ_y^’’ (0) = n(n-1)p² + np

 

Y’nin varyansı

Var(Y) = E[Y²] − (E[Y])² = n(n − 1)p² + np – (np)² = np-np² = np(1-p)

 

 

Ek: V.2- E(p_t) ve E(p_t²) Beklenen Değerlerinin Bulunması:

t+1.generasyonda gen frekansının varyansını, başlangıç generasyonu parametreleri cinsinden ifade edebilmek için, geçiş matrisi yardımı ile,

eşitlik sisteminin çözümünden bulmak mümkündür. Geçiş matrisini T, beklenen değerlerin vektörünü P_t ile göstererek

(V.6)              

yazılabileceği açıktır. Bu sistemin çözümü, T matrisini eigen değerlerden oluşan diagonal D matrisi ve bu eigen değerlere karşılık gelen eigen vektörlerin A matrisi şeklinde unsurlarına bölerek bulunur: T=ADA^-1. D, diagonal matris olduğundan t. generasyonda,

(V.7)              

olur. T matrisinin eigen değerleri,  determinantının çözümünden bulunur (Burada I birim matristir):

matrisinin determinantını sıfıra eşitleyerek

ve buradan  ve bulunur.  için eigen vektör  matrisinde yerine koyarak,

 ve

 

 ve buradan  alınır. Burada 0 değeri keyfi olarak seçilmiştir. Çünkü görüldüğü gibi, bu eigen vektörün sonsuz çözümü vardır.  için eigen vektör, benzer şekilde,

 ve

 

 ve  (her değer) eşitliklerinin çözümü  ve keyfi olarak

bulunur. Bu eigen vektörleri A matrisinde, eigen değerler de D matrisinde yerine konarak (V.7) numaralı eşitlik,

bulunur. Bunu eş.(V.6)’da yerine koyarak,

 

(V.8)              

bulunur.