ALTINCI BÖLÜM

TEORİK DAĞILIMLAR

            İkinci bölümde elimizdeki verilerin nasıl özetleneceğini, gruplandırılmış hallerinde her sınıfta kaç veri (frekans) olduğunu nasıl bulacağımızı görmüştük. Bizim örneklerimizdeki bu ampirik frekans dağılımlarının populasyonlardaki karşılıkları üzerinde de bilgi sahibi olmak; başka bir ifadeyle üzerinde çalıştığımız özellikler için örneğimizden elde edilen verilerin, örneğin çekildiği populasyonlarda nasıl bir dağılım gösterdiğini de bilmek isteriz. Populasyondaki frekans dağılımlarına teorik dağılımlar diyoruz. Bu teorik dağılımlar, verilerin bir fonksiyonu gibi düşünülen fonksiyonlarla ifade edilirler. Bu fonksiyonlara sürekli değişkenler için ihtimal yoğunluk (veya sadece yoğunluk) fonksiyonu, kesikli değişkenler için ihtimal fonksiyonu denir. Bir X değerine karşılık bu fonksiyonla bulunan değer, nispi frekanstır, yüzde değerdir.

            Bu bölümde kesikli dağılımlara örnek olarak Binomiyal ve Poisson dağılımlarını, sürekli dağılımlara örnek olarak da normal dağılımı göreceğiz.

            Öte yandan örnekten hesaplanan istatistiklere dayanarak, örneğin temsil ettiği populasyonun parametreleri hakkında bir beklentimiz varsa onu test etmek, bir beklentimiz yoksa söz konusu parametreyi tahmin etmek isteriz. Bu testi veya tahmini yapabilmek için elimizdeki istatistiğin nasıl bir dağılım gösterdiğini bilmemiz gerekir. Bu istatistiklerin teorik frekans dağılımına örnekleme dağılımı denir. Belirli bazı istatistiklerin örnekleme dağılımlarını da bir sonraki bölümde ele alacağız.

 

            V.1- BİNOMİYAL DAĞILIM

 

            Bir denemenin sonucu istenen veya istenmeyen şeklinde mümkün olan iki değerden birini alabiliyorsa böyle denemelere Bernoulli denemeleri denilir. Bu örnek uzayının mümkün olan iki elemanından M (müspetten) istenen sonucu, N ise (negatiften) istenmeyen sonucu ifade etsin. Eğer bir X tesadüf değişkeni böyle bir deneme sonucunun örnek uzayında

    X=f(M)=1 ve X=f(N)=0                               (VI.1)

şeklinde tanımlanırsa bu tesadüf değişkenine Bernoulli tesadüf değişkeni denilir. X'in ihtimal fonksiyonu, eğer istenen sonucun (M'nin) oluş ihtimali p ise,

    p(0)=P{X=0}=1-p=q

    p(1)=P{X=1}=p                                      (VI.2)

olarak verilir.

            Bernoulli denemelerine en tipik misal bir parayı atmaktır. Peş peşe yapılan atışlarda paranın tuğra gelme ihtimali, para ve atış hilesiz ise daima 1/2'ye eşittir. Görülüyor ki, bir Bernoulli denemesi peş peşe tekrarlanırsa, her tekrar ayrı bir Bernoulli denemesi teşkil eder ve iki elemanlı bir örnek uzayına sahiptir. Burada istenen olayın ihtimali denemeden denemeye değişmez. Eğer para veya atış hileli ise peş peşe atışlar yine bağımsızdır ve hile hep aynı biçimde yapılıyorsa her atışta paranın tuğra gelme ihtimali, meselâ p, sabittir. Bernoulli denemeleri, örnek uzayı ikiden fazla elemandan müteşekkil denemelerden de tertiplenebilir. Zar atışında istenen olay zarın altı gelmesi, istenmeyen olay da altı gelmemesi ise, zarın ardıl atışları bir Bernoulli denemeleri serisi teşkil eder ve p=1/6, q=1-p=5/6 ihtimalleri demeden denemeye sabittir.

            Bir Bernoulli denemeleri serisinde ilgi alanı, tek tek deneme sonuçlarından ziyade, istenen olayın toplam sayısında olabilir. Meselâ, paranın n atılışında kaç tuğra geleceği merak edilebilir, her çocuğun cinsiyet bakımından bir Bernoulli denemesi olarak düşünülebileceği üç çocuklu bir ailede erkek çocukların sayısı bilinmek istenebilir. n Bernoulli denemesi sonunda istenen olay 0,1,...,n defa vuku bulmuş olabilir. Eğer Y, n denemede istenen olay sayısını gösterirse, o zaman Y binomiyal bir tesadüf değişkenidir.

            Y'nin ihtimal dağılımı nasıl olacaktır? Y=y, n denemede y defa istenen, n-y defa istenmeyen vuku bulması demektir. Burada isteneni M, istenmeyeni de N ile gösterirsek, M ve N'lerin sıralanış sırası önemli değildir. Eğer önemli olsaydı, meselâ Y=1 ve n=3 için, MNN,NMN,NNM olaylarının her biri p(1-p)² ihtimalle vuku bulacaktı. O halde böyle bir denemede Y=1 olma ihtimali 3p(1-p)²'dir. Bu misalden anlaşılacağı gibi, n denemede r defa istenen olma ihtimali,

                                                                                                        (VI.3)

şeklinde verilir. V.3 numaralı eşitlikte Y binomiyal tesadüf değişkenini ve P{Y=r}=b(r;n,p) de bu değişkenin ihtimal fonksiyonunu ifade eder. Bu ihtimal fonksiyonu ile ifade edilen dağılıma binomiyal denilmesinin sebebi, q=1-p yazarak, VI.3 numaralı ifadenin (q+p)ⁿ binomunun açılımındaki k=r+1. terime eşit olması yüzündendir. Yani

                                            (VI.4)

            Bütün bu söylenenlere göre binomiyal dağılımın n ve p olmak üzere iki parametresi vardır. Bir Bernoulli tesadüf değişkeni o halde, ihtimal fonksiyonu b(x;1,p) şeklinde ifade edilebilen ve aslında tek parametresi p olan özel bir binomiyal tesadüf değişkenidir.

            Misal:VI.1.1- Bir para beş kere atılıyor. Atışlar birbirlerinden bağımız olduğuna göre tuğra sayısının ihtimal dağılımı;

  b(0;n,p)=b(0;5,1/2)=(5!/0!5!)(1/2)5=1/32

  b(1;5,1/2)=(5!/1!4!)(1/2)5=5/32

  b(2;5,1/2)=(5!/2!3!)(1/2)5=10/32

  b(3;5,1/2)=(5!/3!2!)(1/2)5=10/32

  b(4;5,1/2)=(5!/4!1!)(1/2)5=5/32

  b(5;5,1/2)=(5!/5!0!)(1/2)5=1/32

            Misal:VI.1.2- Bir vida imalâthanesinde yapılan vidaların 0.01'i bozuktur. Firma vidaları 10'luk paketler halinde satıyor ve eğer bu paketlerde bozuk vida sayısı 1 den fazla ise parayı iade ediyor. Satılan paketlerin ne kadarını firma değiştirmek zorunda kalacaktır?

  b(0;10,0.01)=(10!/0!10!)(0.01)0(0.99)10=0.904

  b(1;10,0.01)=(10!/1!9!)(0.01)1(0.99)9=0.091

  P[X>1]=1-P[X£1]=1-b(0;10,0.01)-b(1;10,0.01)

        =1-0.904-0.091=0.005

Yani, firma paketlerin binde 5'ini değiştirmek zorunda kalacaktır.

     Binomiyal dağılımın Ortalama ve Varyansı

            Bir örneğin ortalamasını ve varyansını nasıl hesaplayacağımızı bundan önceki bölümlerde gördük. Bir populasyonun parametrik değeri olarak ortalaması, beklenen değer olarak da ifade edilir. Bir X tesadüf değişkeninin beklenen değeri, eğer X sürekli ise

            .

Eğer X kesikli ise

            .

Burada integral ve toplama işlemleri, tabiatıyla X’in tanım aralığında yapılır.

            Populasyonun varyansı da benzer şekilde

            Bir Bernoulli tesadüf değişkeninin beklenen değeri, yani ortalaması:

           

            Bir Y binomiyal tesadüf değişkeninin beklenen değeri ise, Y=X₁+X₂+X₃+...+X_n şeklinde n tane bağımsız ve özdeş Bernoulli tesadüf değişkeninin toplamına eşit olduğundan,

                                                                              (VI.5)

            Bir X Bernoulli tesadüf değişkeninin varyansı:

            Var(X)=E(X²)-[E(X)]²=0(1-p)+1p-p²=p(1-p)=pq

Burada q=1-p.

            Bir Y binomiyal tesadüf değişkeni ise n tane bağımsız ve özdeş Bernoulli tesadüf değişkeninin toplamı olduğundan bunun varyansı

                                                          (VI.6)

            Misal: VI.1.3- Misal: VI.1.1’deki denemede 5 para atışında ortalama tuğra sayısı ve tuğra sayısına ait varyans sırasıyla

            E(R)= np=5*0.5=2.5

            Var(R)=np(1-p)=5*0.5*0.5=1.25

 

            V.2- POISSON DAĞILIMI

            Binomiyal Dağılıma Poisson Yaklaşımı

            Birçok hallerde bağımsız Bernoulli denemelerinin tekrar sayısı (n) oldukça büyük ve p küçüktür. Böyle bir durumda istenen sonuçların beklenen sayısı μ ile gösterilirse, yani

            μ = E(Y)=np

denirse, b(r;n,p)'leri μ cinsinden ifade etmek uygun olabilir ve bu yaklaşım bulanın adına izafeten Poisson yaklaşımı olarak bilinir. r=0 için

                                                                                                               (VI.7)

ve bunun logaritması

   ln b(0;n,p)=n.ln(1-μ/n)

Öte yandan ln (1+X) şeklinde logaritmik bir ifadenin Taylor serisine açılımı

X=- μ/n koyarak ifade aşağıdaki gibi yapılır:

Buradan y=ln x ise x=e^y olduğunu hatırlayarak,

                                                                                    

Burada, n sonsuz sayılacak kadar büyük olduğunda:

                                                                                                                  (VI.8)

            Öte yandan n'nin yeterince büyük ve p'nin de küçük olduğunu unutmaksızın istenenin r tane olma ihtimalini r-1 tane olma ihtimaline oranlayalım:

Buradan da

                                                                                             (VI.9)

Demek oluyor ki

     b(1;n,p)=μb(0;n,p)=μe^-μ

     b(2;n,p)=(μ/2)b(1;n,p)=(μ²/2!)e^-μ

     b(3;n,p)=(μ/3)b(2;n,p)=(μ³/3!)e^-μ       

        .

        .

     b(r;n,p)=(μ/r)b(r-1;n,p)=(μ^r/r!)e^-μ                                                                             (VI.10)

VI.10 numaralı eşitlik binomiyal dağılıma Poisson yaklaşımı olarak bilinir. Böylece, yeterince büyük n için b(r;n,p)'nin yaklaşık değeri VI.10 numaralı eşitlikle ifade edilen ve kısaca p(r;μ) olarak gösterilen değere eşit olacaktır. p küçüldükçe yaklaşımın daha iyi olacağı açıktır. Binomiyale yaklaşım değeri olan bu p(r;μ) Poisson dağılımı olarak bilinir.

            Misal:VI.2.1- Yaklaşımın n=100 için uygunluğunu görmek üzere, rastgele seçilen 100 kişinin içinde 1 Ocakta doğanların sayısına ait ihtimal dağılımını bulalım:

     μ=np=100(1/365)=.27397

Buradan iyi bir hesap makinesi ile b(r;n,p)'ler ve p(r;μ)'ler aşağıdaki gibi bulunur:

    r     0      1       2       3       4       5       6   

--------------------------------------------------------------

gerçek

(bin.).760067 .208809 .028396 .002548 .000170 .000009 .0000004

yaklaşık

(po.) .760353 .208316 .028536 .002606 .000178 .000010 .0000004

--------------------------------------------------------------

            Henüz görüldüğü gibi, n yeterince büyük ve p yeterince küçük olduğu zaman binomiyale poisson yaklaşımı iyi bir sonuç vermektedir. Özet olarak tek parametresi μ olan x Poisson tesadüf değişkenini ihtimal fonksiyonu aşağıdaki gibi verilir:

                                                                                                                                               (VI.11)

            Poisson dağılımının gerçekten çok uygun olduğu uygulamalar bilhassa fizik denemelerinde ve belirli zaman aralıklarında bir olayın vuku bulma sayısı gibi durumlarda söz konusudur. Genel bir ifadeyle n»∞z, p»0 sayılacak ve np=μ olacak şekilde bağımsız Bernoulli denemeleri tekrarlanırsa, VI.11 numaralı eşitlik bu denemelerde istenen olayın x defa olma ihtimalini verir.

 

            Misal:VI.2.2- Bir kitabın dizgi hataları sayısı bakımından sayfaların dağılımı Poisson dağılımına yakın bir dağılım gösterir. 300 sayfalık bir kitapta toplam 150 hata yapılmışsa, sayfa başına ortalama hata sayısı μ=150/300=(1/2)'dir. O zaman rastgele bir sayfanın hatasız sayfalardan biri olma ihtimali

    p(0;1/2)=[(0.5)⁰/0!].e^-1/2= e^-.5=.606531

ve hatasız sayfaların beklenen sayısı

  N(0)= 300x(.606531)=181.9593

Bir sayfada bir hata olma ihtimali ve böyle sayfaların beklenen sayıları da

  p(1;5)=.5e^-.5=.303265  ve N(1)=300x(.303265)=90.9795

2 adet hata olan sayfaların nisbi miktarı ve beklenen sayısı da aynı şekilde

  p(2;.5)=.25x.303265=.075816  ve N(2)=300x(.075816)=22.7448

olarak bulunur. Görülüyor ki 2’den daha fazla hata olan sayfaların beklenen sayısı 300-(181.96+90.98+22.74)=4.32 gibi oldukça küçük bir sayıdır. Yani 300 sayfanın 295’ten fazlasında en fazla 2 hata bekleniyor demektir. Rastgele bir sayfada en az bir hata olma ihtimali

  P[r>1]=1-p(0;.5)=1-.606531=.393469

ve böyle sayfaların beklenen sayısı

  N(r>1)=300x(.393469)=118.0407

olarak bulunur.

            Misal:VI.2.3- Fizik denemelerinden, 1 saniyede 1 gr. radyoaktif madde tarafından verilen α partikellerinin sayısı ortalama 3.2 olarak biliniyor. 1 sn.'lik aralıklarla 1 gr. radyoaktif maddedeki α partikellerinin sayısı ölçülen bir denemede herhangi bir 1 saniyelik aralıkta hiç α partikeli saymama, 1 α partikeli sayma, 2 tane sayma ve nihayet 2'den fazla sayma ihtimali nedir?

   p(0;3.2)=.040762

   p(1;3.2)=.130439

   p(2;3.2)=.208703

   p[r>2]=1-p[r£2]=1-.379904=.620096

Bir başka ifadeyle bir saat süren bir deneme sonunda, 3600 saniyenin

   3600 x(.379904)=1367.6544

tanesinde en fazla 2 α partikeli sayılması beklenecek, 2'den fazla α partikeli sayılan saniyelerin sayısı ise

   3600 x(.620096)=2232.3456

olarak beklenecekti.

            Poisson dağılımına tabiattan ve günlük hayattan örnek olarak gösterilebilecek başka fenomenler aşağıda verilmiştir. Bunlardan da anlaşılacağı gibi Poisson dağılımı “nadir olayların dağılımı” olarak bilinir.

            - Belirlibir bölgede, herhangi bir yılda 100 yaşından büyük olan kişilerin sayısı,

            - Belirli bir günde çevrilen yanlış telefonların sayısı,

            - Çok az satılan bir eşya için, bir dükkânda bir günde o eşyadan kaç tane satıldığı,

            - Bir yılda savaş sayısı,

            - Belirli bir zaman aralığında deprem sayısı,

            - Bir hayat sigortası şirketince sigorta edilenler arasında bir yılda ölenlerin sayısı,

            - X ışınları ile radyasyona maruz bırakılmış hücrelerde anormal kromozom sayısı,

            - Petri kutusunda, eşit büyüklükteki karelere düşen bakteri sayısı.

            Bir R Poisson tesadüf değişkeninin beklenen değeri tek parametre olan µ’ye eşittir. Poisson dağılımının varyansı da ortalamasına eşittir. Ortalama ve varyansın nasıl bulunduğunu merak edenler için (Kavuncu 1995) tavsiye edilir.

 

VI.3- NORMAL DAĞILIM

Normal dağılım, istatistik teorisinin temel direğidir. Daha ileride görülecek olan örnekleme dağılımlarının birçoğu normal, birçoğu da normal sayılabilen dağılım gösterir. Normal dağılımın diğer bir önemi tabiattaki birçok fenomenin de bu şekilde bir frekans dağılımına sahip olmasıdır. Normal dağılım çan eğrisi şeklinde, ortalama etrafında simetrik bir dağılımdır.

Eğer X tesadüf değişkeni normal dağılım gösteriyorsa yoğunluk fonksiyonu:

                                                                                (VI.12)

Burada, iki parametre dağılımın ortalaması ve varyansıdır, yani μ=E(X) ve σ²=E(X²)-μ².

Normal dağılım ilk defa Fransız matematikçisi de Moivre tarafından 1773'te ifade edilmiştir. De Moivre, normal dağılımı, n büyük olduğu zaman binomiyal dağılımın yaklaşık olasılıklarını bulmak için kullanmıştır. Daha sonra Laplace ve diğerleri tarafından sonuç genelleştirilmiş ve daha sonra görülecek olan merkezi limit teoremi halini almıştır. Normal dağılımı bu arada Gauss da kullanmış ve astronomik rasatlardaki hataların dağılımının normal olduğunu göstermiştir. Normal dağılıma literatürde o günlerden beri Gauss dağılımı, Laplace-Gauss dağılımı da denilmektedir.

Normal dağılımın F(X<a) kümülatif yoğunluk fonksiyonunun, kapalı bir ifadesi mevcut değildir. Dolayısı ile X normal tesadüf değişkenine ilişkin olasılıklar eklemeli yoğunluk fonksiyonu ile direkt olarak bulunamaz. Ancak, herhangi bir X normal tesadüf değişkeni,

 

                                                                                                                   (VI.13)

transformasyonu ile tek bir Z normal tesadüf değişkenine çevrilebilir. Z'nin yoğunluk fonksiyonu, standart normal dağılım olarak bilinir:

                                                                                                                     (VI.14)

Bu dağılımın ortalaması 0, varyansı 1'e eşittir: E(Z)=0 ve Var(Z)=E(Z²)-[E(Z)]²=1’dir.

Z'nin pozitif b değerleri için kümülâtif yoğunlukları veya P{0<Z<b} değerleri çeşitli nümerik yaklaşım usulleri ile hesaplanarak tablolar halinde verilirler. Bu tabloları hazırlamak üzere      veya       belirli integralleri, b'nin muhtelif değerleri için alınır. Dağılım simetrik olduğu için aşağıdaki ilişkiler bu tablolardan yararlanarak ve b>0 olduğu hatırlanarak çeşitli olasılıkları hesaplamak üzere kullanılabilirler:

a) F(-b)=1-F(b)

b) F(b) =0.5000+P{0<Z<b}

c) F(-b)=1-F(b)=1-0.5000-P{0<Z<b}=.5000-P{0<Z<b}

Misal:VI.3.1- Standart normal eğrinin altında 0'dan muhtelif Z değerine kadar ki alanları veren tablodan 1.00 ila 1.02 arasındaki Z değerleri için F(z) ve F(-z)'leri bulalım. Tabloda Z=1.02 için P{0<Z<1.02}=0.3461 bulunur. Bu değeri yukarıdaki eşitliklerde yerine koyarak F(1.02)=0.5000+P{0<Z<1.02}=0.8461 ve F(-1.02)=1-F(1.02)=1-0.8461=0.1539

Misal:VI.3.2- Z'nin 1.80 ile 1.89 arasındaki değerlerinden 0.01 aralıklarla seçilenlerin F(Z) kümülâtif yoğunlukları Tablo:VI.1'de verildiğine göre, P{0<Z<z} ve F(-z) değerlerini bulunuz.

Tablodan F(1.82)=0.9656 olarak verildiğine göre, F(-1.82)=1-F(1.82)=1-0.9656=0.0344 ve P{0<Z<1.82}=F(1.82)-0.5000=0.9656-0.5000=0.4656 bulunur.

Bu iki misaldeki diğer bazı z değerleri için istenenler, aşağıdaki gibi tablo halinde verilebilirler:

	Z değerleri
	1.00	1.01	1.04	1.05	1.08	1.09
P{0<Z<z}	.3413	.3438	.3508	.3531	.3599	.3621
F(z)	.8413	.8438	.8508	.8531	.8599	.8621
F(-z)	.1587	.1562	.1492	.1469	.1401	.1379

 

	Z değerleri
	1.80	1.81	1.84	1.85	1.88	1.89
F(z)	.9641	.9649	.9671	.9578	.9699	.9706
P{0<Z<z}	.4641	.4649	.4671	.4678	.4699	.4706
F(-z)	.0359	.0351	.0329	.0322	.0301	.0294

 

Herhangi bir X normal tesadüf değişkeninin olasılık hesapları için aşağıdaki teoremden yararlanılır:

Teorem: Ortalaması μ, standart sapması σ olan bir X normal tesadüf değişkeninin a ile b (a<b) arasında bir değer alma olasılığı

Normal dağılımdan farklı çeşitli dağılımlarda da belirli olasılıkların yaklaşık olarak hesaplanması, standart normal dağılımı kullanarak mümkündür. Meselâ büyük n değerli binomiyal dağılımlara da normal yaklaşım aşağıdaki gibi yapılabilmektedir:

Yani n şeyden istenen r'nin, a ile b arasında bir sayıda olma olasılığı, yaklaşık olarak kümülâtif standart normal dağılım fonksiyonunun b ve a için alacağı değerlerin farkına eşittir. Tabii olarak a<b olması lâzımdır. Burada n için aranan asgari büyüklük p<1/2 için n.p>10, p>1/2 için n.(1-p)>10 olmasıdır (Düzgüneş ve ark 1983).

     Çalışma Soruları

     VI.1- Bir pilin ömrü 1 yıl olarak garanti edilmiştir. Fabrikanın ürettiği pillerden 0.005’i bozuktur. Toptan satışlarda yüz pil ihtiva eden paketler halinde pazarlama yapılıyor. Eğer pakette bozuk pil sayısı 1’den fazla ise müşteriye yeni bir paket eşantiyon olarak veriliyor. Bir paket pil alan bir müşterinin ikinci bir eşantiyon paket alma şansı nedir? Soruyu, bozuk pil sayısının Poisson ve Binomiyal dağılım gösterdiği varsayımlarına göre ayrı ayrı çözünüz.

            VI.2- Tuğra gelme ihtimali p olan bir para 12 kere atılırsa kaç kere tuğra gelmesi beklenir (p≠0.5)? a) 12, b) 6, c) 12*p, d) 6*p

            VI.3- VI.2 numaralı soruda tuğra sayısına ait dağılımın varyansı kaçtır? a) 12.p.(1-p), b) 3, c) 6.(1-p), d) 6.p

             VI.4- Standart normal tesadüf değişkeninin aşağıdaki değerleri için P{0<Z<z} verildiğine göre F(z) ve F(-z) eklemeli yoğunluklarını bulunuz.

a) P(0<Z<1.81)= .4641;                     b) P(0<Z<1.85)= .4678;

c) P(0<Z<1.28)= .3997;                     d) P(0<Z<1.96)= .4750;

e) P(-1.645<Z<0)= .4500;                   f) P(0<Z<2.575)= .4950

VI.5- Standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Bu grafikte fonksiyonun z=0 ve z=±1 kritik noktalarına ait ordinatları hesaplayıp grafikte gösteriniz.

VI.6- Bir metre uzunluğunda bakır tel imal eden bir firma, tellerin boyunda farklılıklar olduğunu, bu farklılıkların ortalaması 6.5mm ve varyansı 1.44 olan bir normal dağılım gösterdiğini bildirmiştir. Firmanın ürettiği teller arasında bir metreden en az bir cm sapan mamullerin nispi miktarı aşağıdakilerden hangisidir?      A) .4982, b) .0018, c) .0036, d) .9964

VI.7- VI.4 numaralı soruda 500 adet tel alan bir müşterinin 100.50 cm’den daha uzun kaç adet tele sahip olması beklenir? A) 197, b) 447, c) 53, d) 106

VI.8- Bir süt işletmesinde imal edilen 1 lt’lik yoğurtlarda pH ortalaması 7.24, standart sapması 0.12 olan normal bir dağılım göstermektedir. pH’sı 7.0’nin altında olan ürünler asiditesi yüksek sayılmaktadır. pH 6.9’dan küçük olduğu zaman yoğurt son tüketim tarihinden önce bozulmaktadır. Yoğurtların yüzde ne kadarı 7.0’ın altında pH değerine sahiptir? A) %47.72, b) %2.28, c) %4.56, d) %95.44

VI.9- VI.8 numaralı sorudaki yoğurtlardan 50 tanesinden kaçı son tüketim tarihinden önce bozulacaktır? a. 50*.4996, b. 50*(1-.4996), c. 50*(0.5-0.4996), d. 50*.0008

VI.10- VI.8 numaralı sorudaki yoğurtlardan ne kadarı baziktir (pH’sı 7.0’den büyüktür)? a) %47.72, b) %95.44 c) %97.72, d) %4.56.