Ü Ç Ü N C Ü    B Ö L Ü M

M E R K E Z I   E Ğ I L I M   Ö L Ç Ü L E R I

(O R T A L A M A L A R)

 

 

Önceki bölümde yaptığımız frekans tabloları, istatistik verilerin dağılımının bazı özelliklerini görmek için yeterlidir: Veriler, genellikle ortalarda bir yere doğru toplanma temayülü gösteriyor, adeta ortaya doğru çekiliyorlar. Ancak bir taraftan da bu merkezden farklılık (varyasyon) gösteriyorlar. Merkeze yaklaştıkça değerlerin frekansı artıyor; uzaklaştıkça azalıyor.

 

            Bu bölümden itibaren, 3,4 ve 5. Bölümlerde, istatistik verilerin bu ve başka özelliklerini gösteren ölçüleri göreceğiz. Bu ölçüler örnekten hesaplanan ve örneğimizi tanıtan, onun bir özelliğini ortaya koyan ölçülerdir. Bu yüzden bunlara Tanımlayıcı "descriptive" istatistikler denir.

 

            Bu bölümde Merkezi Eğilim Ölçülerini göreceğiz. Bunlara Ortalamalar da denir. Merkezi Eğilim Ölçüleri, örneğimizdeki verilerin nereye doğru toplanma temayülünde olduklarını gösteren ve dolayısı ile bu verilerin hepsini birden temsil eden tipik değerlerdir.

 

 

            III.1- Tepe Değeri (Mode)

 

            Bir örnekte frekansı en yüksek olan, yani en çok tekrarlanan değere Tepe Değeri denir. Frekans tablosundan tepe değeri, en yüksek frekanslı sınıfın değeri olarak bulunur. Ancak daha duyarlı bir hesaplama için bir önceki ve sonraki sınıfların frekansı dikkate alınmalıdır. Çünkü hangi tarafın frekansı daha fazla ise, tepe değerinin sınıf değerinden o tarafa doğru sapmış olması beklenir. Bunun için;

 

T.D.=L₁ +  C

 

Burada: L₁   = en yüksek frekanslı sınfın alt gerçek sınırı,

              C   = sınıf genişliği

              d₁  = en yüksek frekansla bir önceki sınfın frekansının farkı

              d₂  = en yüksek frekansla bir sonraki sınfın frekansının farkı

           

            Misal II. 1’ de veriler için tepe değerini frekans tablosundan 40.5 olarak alabiliriz. Çünkü en yüksek frekans bu sınıfın frekansı olup 15’tir. Ancak bir sonraki sınıfın frekansı, bir önceki sınıfın frekansından fazla olduğundan, esasında tepe değeri470.5’ten biraz büyüktür:

 

                                               T.D. =38.5 + (15-10)/(15-10+15-13)=38.5 + 4*(5/7)=41.357

 

           

            III. 2- Ortanca Değer (Median)

 

             Küçükten büyüğe sıralanmış verilerin tam ortasındaki değere Ortanca Değer denir. Bir veri topluluğunda varyantların yarısı ortancadan küçük, yarısı ortancadan büyüktür. Küçükten büyüğe doğru sıralanmış n adet varyantın n tek ise (n+1)/2.cisi ortanca değerdir. Eğer n çift ise o zaman n/2.ci ile (n/2)+1.ci varyantın ortalaması ortanca değerdir. Ancak n 50-60 gibi bir sayı ise o zaman tek mi çift mi olduğuna bakılmaksızın n/2.ci varyant ortanca değer olarak kabul edilir.

                          

            Misal: II.1’deki veriler için ortancayı frekans tablosundan yaklaşık olarak bulabiliriz. Pratik maksatlar için n varyantın n/2.si ortanca kabul edilir. 67 işçi olduğuna göre bunun yarısı 33.5’inci varyantın bulunması gerekir. Bu veriler için yapılmış olan eklemeli frekans tablosundan bu varyantın 42.5 alt gerçek sınırı ile 46.5 üst gerçek sınırı arasındaki 4.sınıfta olduğu görülür. Çünkü 27.den 40.ya kadar 13 varyant bu sınıftadır. 4 birime 13 varyant eşit aralıkla dizilmiş kabul ederek varyant başına 4/13 birim düştüğü görülür.  33.5inci varyant 27.varyant olan 42.5’tan bu durumda,

                        (33.5-27)*4/13 = 6.5*4/13 = 2

kadar daha büyüktür; yani 42.5+2 = 44.5’e eşittir. Bu anlatılanlar aşağıdaki gibi formüle edilir:

               

                     

Burada

F_t: Ortanca değerin bulunduğu sınıftan önceki sınıfların frekanslarının toplamı; yani ortanca değerin bulunduğu sınıfın alt gerçek sınırından daha küçük eklemeli frekansı.

F_od: Ortanca değerin bulunduğu sınıfın frekansı

C: Sınıf Genişliği

N: Örnek Genişliği

L₁  ortanca değerin bulunduğu sınıfın alt gerçek sınırı (misalde 42.5).

 

            III.3 – Aritmetik Ortalama (Arithmetic Mean)

 

            En çok bilinen ve kullanılan ortalama, aritmetik ortalamadır. Ortalama dendiği zaman bu aritmetik ortalama anlaşılır. N varyantın aritmetik ortalaması toplamlarının N’e bölünmesi ile bulunur:

 

                                                        

            Aritmetik ortalama veri topluluğunun denge noktasıdır, ortalamadan sapmaların toplamı sıfırdır.  Bir veri topluluğundaki varyantlara bir sabit eklemek veya bir sabitle bunları çarpmak, ortalamayı da aynı şekilde etkiler:

                  1. Ortalama sistemin denge noktasıdır; ortalamadan saapmaların toplamı sıfırdır:

                 

                   2.    k bir sabit olmak üzere y= k.x ise,

                        

                   3.      A bir sabit olmak üzere y= x+A ise,

                         

                   4.2  ve 3 numaralı özelliklerden y ve x arasında a ve c birer sabit olmak üzere y=a.x+c şeklinde bir ilişki varsa  

                    

     Bugün artık bilgisayarlar sayesinde elli altmış rakamın toplamı, sonra bunların ortalaması gibi işlemler çabucak yapılabilmektedir. Fakat çoğu zaman bizim elimizde veriler frekans tablosu halinde bulunur. Bunların ortalamasını bulmak için aşağıdaki yol takip edilir:

 

            Misal: III.1- 67 işçinin maaşlarına ait frekans tablosundan ortalamayı hesaplayalım.

     Sınıflar         x_i            f_i         f_i.x_i        b_i          f_i.b_i

    31- 34        32.5          2       65.0       -5          -10

    35- 38        36.5        11     401.5       -4          -44

    39- 42        40.5        14     567.0       -3           -42            

    43- 46        44.5        13     578.5       -2           -26

    47- 50        48.5          8      388.0       -1             -8 

    51- 54        52.5          6      315.0        0              0             

    55- 58        56.5          4       226.0       1              4 

    59- 62        60.5          3       181.5        2             6 

    63- 66        64.5          4       258.0        3            12             

    67- 70        68.5          1       68.5        4              4 

    71-74         72.5          1       72.5        5              5

 Toplam                         67   3121.5                    -99

 

b=(x-A)/c olarak hesaplanır. Burada A ortalardaki bir sınıfın değeri, örneğimizde 52.5; c ise sınıf genişliğidir. b ile x arasındaki ilişki ortalamaları arasında da olduğundan

                                          

                                              = 52.5 + 4.(-99/67)=52.5 – 5.9104 = 46.5896

            Doğrudan sınıf değerlerinin ortalamasını hesaplasaydık yine,

                                            

                                                = 3121.5 / 67 = 46.5896

 

çıkacaktı.

            Aritmetik ortalama en çok tercih edilen merkezi eğilim ölçüsüdür. Ancak aşırı değerlerden çok etkilenir. Bu durumlarda aritmetik ortalama yerine ortanca değer tercih edilir. Simetrik dağılımlarda bu üç ortalama birbirine eşittir. Dağılım bir tarafa doğru yatıksa o taraftaki aşırı varyantlardan en çok ortalama etkilenir. Simetriden sapmalara karşı T.D. en dayanıklıdır, fazla etkilenmez. Ortanca değer daima bu ikisi arasındadır.

 

            III.4- Harmonik Ortalama

 

Harmonik ortalama, varyantların terslerinin ortalamasının tersidir:

 

III.5- Geometrik Ortalama

 

Geometrik ortalama, varyantların çarpımlarının n.ci köküdür:

burada Π,  çarpım sembolüdür.

III.6- Alıştırma Soruları

1-       Aşağıdaki verilerin ortalaması kaçtır?

23 24 25 26 27 28 29

a)      29-23=6, b) 26, c) 26² d) hiç biri

2-      Birinci sorudaki verilerin ortalamadan sapmalarının toplamı

a)      6, b) 0 , c) 12, d)-6

3-      Birinci sorudaki verilerin ortanca değeri

a)      23, b) 29, c) 26, d) 6.

4-      Birinci sorudaki verilerin tepe değeri

a)      Yoktur, b) 23, c) 29, d) 6.

5-      Birinci sorudaki verilerin her birinden 20 çıkarırsanız elde ettiğiniz değerlerin ortalaması

a)      Değişmez, 26’dır, b) 6, c) 20, d) hiçbiri

6-      Aşağıdaki frekans tablosundan b’lerin ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?

Sınıfla X_i    f_i    b_i              a) 0.20,  b) 0, c) 16/9, c) 10 

  32-34 33   2  -4

  35-37 36   4  -3

  38-40 39   5  -2

  41-43 42   7  -1

  44-46 45 10   0

  47-49 48   8   1

  50-52 51   6   2

  53-55 54   5   3

  56-58 57   3   4

7-      Altıncı sorudaki frekans tablosundan sınıf değerleri (X_i)’nin ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?

a)      0.20*3+45=45.6, b) 45, c) 10.6, d) 43.5

8-      Altıncı sorudaki b değerlerini 2 ile çarparak bulacağınız y değerlerinin ortalaması

a)      0.40, b) 0.20, c) 0.10, d) 91

9-      n adet varyantın geometrik ortalaması

a)      En çok tekrarlanan değerdir,

b)      Çarpımlarının (1/n).ci üssüdür

c)      Terslerinin ortalamasının tersidir

d)     Logaritmalarının aritmetik ortalamasıdır.

10-  Bir tarafa aşırı sapan değerler

a)      En fazla ortalamayı etkiler

b)      En çok ortancayı etkiler

c)      En çok tepe değerini etkiler

d)     Harmonik ortalama bulunmasını gerektirir.